Shape Operator

定义 Definition

shape operator（也叫 Weingarten map / Weingarten算子）是微分几何中的一个概念：在曲面上一点处，它把切平面中的切向量映射到另一个切向量，用来描述曲面法向量场沿不同方向的变化，从而刻画曲率（与第二基本形式、主曲率密切相关）。在许多教材中，形算子与第二基本形式只差一个符号约定。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈʃeɪp ˌɑːpəˈreɪtər/

例句 Examples

The shape operator tells us how the surface bends at a point.
形算子告诉我们曲面在某一点附近是如何弯曲的。

By diagonalizing the shape operator, we obtain the principal curvatures and principal directions.
通过对形算子进行对角化，我们可以得到主曲率和主方向。

词源 Etymology

shape 来自古英语 sceap（形状、外形），operator 来自拉丁语 operator（执行者、操作者）。在数学语境里，operator 常指“把一个对象映射到另一个对象的算子/变换”。因此 shape operator 直译为“形状算子”，指一个反映“形状（弯曲程度）如何变化”的线性算子；该概念也与德国数学家 Weingarten 的相关公式传统相连，因此又称 Weingarten map。

相关词 Related Words

• Curvature
• Principal Curvature
• Gaussian Curvature
• Mean Curvature
• Second Fundamental Form
• Normal Vector
• Tangent Plane
• Weingarten Map

文学与著作中的用例 Literary Works

• Differential Geometry of Curves and Surfaces — Manfredo P. do Carmo（常以 shape operator/Weingarten map 介绍曲率与第二基本形式）
• A Comprehensive Introduction to Differential Geometry — Michael Spivak（在曲面理论与第二基本形式相关章节出现）
• Elementary Differential Geometry — Andrew Pressley（用于推导主曲率与曲率性质）
• Semi-Riemannian Geometry — Barrett O’Neill（在子流形与形算子/第二基本形式框架中讨论）